• Профессор Н.А.Магницкий, ВМК,

    Доклад «Бифуркационная теория динамического хаоса»

    Хорошо известно, что хаотическая динамика присуща практически всем природным и социальным процессам и явлениям, описываемым нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Однако в течение многих лет не было четкого понимания того, как образуются нерегулярные аттракторы, отличающиеся от устойчивых неподвижных точек, предельных циклов и торов. Считалось, что существуют различия между аттракторами автономных и неавтономных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, а также дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Считалось, что хаос в гамильтоновых и консервативных системах существенно отличается от хаоса в диссипативных системах. Существовало также мнение, что нерегулярные аттракторы сложных нелинейных систем не могут быть описаны системами дифференциальных уравнений и что для их описания необходимо разработать новый математический аппарат. И лишь недавно было доказано и подтверждено многочисленными примерами, что нерегулярные (хаотические) аттракторы можно понять и описать в рамках теории бифуркаций в нелинейных системах дифференциальных уравнений. Было доказано, что существует универсальный бифуркационный сценарий перехода к динамическому хаосу во всех видах нелинейных систем дифференциальных уравнений: консервативных и диссипативных, автономных и неавтономных, обыкновенных, с частными производными и с запаздывающим аргументом.
    В докладе будет показано, что бифуркационный сценарий перехода к динамическому хаосу реализуется в классических диссипативных двумерных неавтономных системах с периодическими коэффициентами, таких как системы Матье, Крокета и Дюффинга–Холмса, в трехмерных диссипативных автономных системах, таких как системы Лоренца, Чуа, Спротта, Ресслера, Чена, Рабиновича–Фабриканта, Валлиса, Магницкого, Анищенко–Астахова, Вольтерра–Гаузе, Пиковского–Рабиновича–Трахтенгерца, Свирежева, Рюклиджа, Генезио–Тези, Вайдлиха–Трубецкова и многих других. Этот же сценарий перехода к хаосу имеет место также во многих многомерных и бесконечномерных системах нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, таких как система Рикитаки, комплексная пятимерная система Лоренца, уравнение Мэкки–Гласса с запаздывающим аргументом и многих других. Этот же сценарий перехода к хаосу имеет место также во многих нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными, таких как уравнения Брюсселятора и Курамото-Цузуки (зависящее от времени уравнение Гинзбурга-Ландау), системы уравнений реакция-диффузия и Фитцхью-Нагумо, нелинейные уравнения Шредингера, Кавахары и Курамото–Сивашинского. Кроме того, этот сценарий описывает также переход к хаосу в гамильтоновых и консервативных системах, таких как консервативные уравнения Крокета и Дюффинга–Холмса, гамильтоновы системы Матье–Магницкого и Янга–Миллса–Хиггса, а также ламинарно-турбулентные переходы в различных задачах для уравнений Навье–Стокса, таких как конвекция Рэлея-Бенара, падение жидкости с уступа, неустойчивости Рэлея-Тейлора и Кельвина-Гельмгольца, проблема Колмогорова, МГД-турбулентность и другие. Перечисленные системы уравнений описывают множество сложных природных, социальных, научно-технических процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике, медицине и социологии, что подчеркивает универсальную применимость рассматриваемого бифуркационного подхода.

    1. Мagnitskii, N.A.; Sidorov, S.V. New Methods for Chaotic Dynamics; World Scientific: Singapore, 2006, 363p.
    2. Магницкий Н.А. Теория динамического хаоса. М.: УРСС, 2011, 320с.
    3. Magnitskii, N.A. Universality of Transition to Chaos in All Kinds of Nonlin. Diff. Equations. In Nonlinearity, Bifurcation and Chaos-Theory; INTECH, Rijeka, Croatia2012; pp. 133–174.
    4. Bifurcation Theory of Dynamical Chaos. In Chaos Theory; INTECH: Rijeka, Croatia, 2018; pp. 197–215. Available online: https://www.intechopen.com/chapters/57243
    5. Evstigneev N., Magnitskii N., Sidorov S. On the nature of turbulence in Rayleigh-Benard convection. Differ. Eqv., 2009, 45, 909–912.
    6. Karamysheva T.V., Magnitskii N.A.Traveling waves, impulses and diffusion chaos in excitable media. Comm. Nonlin. Science & Numer. Simul., 2014, v. 19(6), p.p. 1742–1745.
    7. Burov D.A., Evstigneev N.M., Magnitskii N.A. On the chaotic dynamics in two coupled partial differential equations for evolution of surface plasmon polaritons. Comm. Nonlin. Science & Numer. Simul., 2017, vol.46, p. 26—36,
    8. Evstigneev N.M. and Magnitskii N.A. Numerical Analysis of Laminar-Turbulent Bifurcation Scenarios in Kelvin-Helmholtz and Rayleigh-Taylor Instabilities for Compressible Flow. – Chapter 2 in Turbulence Modelling Approaches. INTECH, Rijeka, Croatia, 2017, pp.29-60.
    9. Evstigneev N., Magnitskii N. Nonlinear Dynamics of Laminar-Turbulent Transition in Generalized 3D Kolmogorov Problem for Incompressible Viscous Fluid at Symmetric Solution Subset. Journal of Appl. Nonlinear Dynamics, 2017, 6, 345-353.
    10. Evstigneev N., Magnitskii N. Numerical study of laminar-turbulent transition by methods of chaotic dynamics. Dokl. Math. 2020, 101, 110–114.
    11. Evstigneev N. Disconnected stationary solutions for 2D Kolmogorov flow problem in periodic domain. J. Phys. Conf. Ser. 2021, 1730, 012078.
    12. Магницкий Н.А. Хаотическая динамика однородных полей Янга-Миллса с тремя степенями свободы. Дифференциальные уравнения, 2022, Vol. 58, No. 3, pp. 301–308.
    13. Magnitskii N.A. Universal Bifurcation Chaos Theory and Its New Applications // Mathematics, 2023, 11 (11), 2536. https://doi.org/10.3390/math11112536

    Бюро Семинара

    д.ф.-м. наук, академик РАЕН В.Л. Бычков

    8-916 0257091 bychvl@gmail.com

    к. ф. наук А.Ю. Грязнов

    к. ф.-м. наук В.В. Низовцев

    Секретарь Семинара Д. С. Лосинец

    . +7 925 11 787 22 imsb83@yandex.ru

    Ссылка на видеоконференцию

    Дмитрий Лосинец
    1. т. +7 925 11 787 22
    на видео-конференцию к предстоящему семинару 24 апреля 2024г, 18:00:
    https://telemost.yandex.ru/j/37575158297208

    Опубликовано

← Старые Новые →